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00 写在前面

时间演变聚类算法：将时间演变聚类算法用在去噪上，基本思想是，具有相似信号演化的体素具有相似的模型参数值，并且由机器学习决定的集群数量远远小于体素的数量。因此，对一个聚类进行平均可以大大提高聚类级逆解的信噪比，这可以用作体素级优化的鲁棒初始猜测。

在该演变算法的基础上，总结了K-means算法、X-means算法、最小二乘法、贝叶斯信息准则

01 基于Python版本的K-means代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.datasets import make_blobs

# 生成具有三个簇的示例数据
n_samples = 300
n_features = 2
centers = 3
cluster_std = 1.0

x, y = make_blobs(n_samples=n_samples, n_features=n_features, centers=centers, cluster_std=cluster_std, random_state=42)

# 设置K值（簇的数量）
k = 3

# 初始化KMeans算法
kmeans = KMeans(n_clusters=k, random_state=42)

# 进行聚类
kmeans.fit(X)

# 获取聚类结果
labels = kmeans.labels_
centroids = kmeans.cluster_centers_

# 绘制聚类结果
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=labels, cmap='viridis', marker='o', edgecolor='k', s=50)
plt.scatter(centroids[:, 0], centroids[:, 1], c='red', marker='x', s=200, linewidths=3, zorder=10)
plt.title('K-means Clustering')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.grid(True)
plt.show()

02 X-means方法

传统的K-means聚类算法需要预先确定聚类的数量K。在这里，使用了一种称为X-means的方法，该方法能够自动选择K。X-means方法通过两个步骤反复迭代来选择合适的聚类数量K。

• 步骤1：
• 首先执行传统的K-means聚类，给定一个初始的聚类数量。
• 计算贝叶斯信息准则（BIC），BIC是聚类对数似然和对K的惩罚项的和。
• 随着K的增加，拟合的优度（对数似然）增加，但过拟合的可能性也增加。惩罚项用来减少这种可能性。
• 步骤2：
• 每个聚类的质心（质心）被替换为两个子质心，并在该聚类内使用这些子质心作为初始猜测进行局部K-means（K = 2）。
• 计算该聚类的BIC：如果BIC较大，则进行替换，否则保留“父”质心。
• 重复步骤1和步骤2，直到整体BIC不再增加或 K达到预先设定的最大值为止。
• 在这项研究中，初始聚类数为1，最大聚类数为50。

03 最小二乘法简单理解

最小二乘法（Least Squares Method, LSM）是统计学和数据分析中常用的一种方法，用于拟合数据模型。它的本质是一个优化过程，因为它通过最小化目标函数来找到模型参数的最优解。

（1）最小二乘法的基本思想
假设我们有一组观测数据点(x1, y1),(x2, y2),…,(xn, yn)，我们希望找到一个函数 f(x)来拟合这些数据点。最简单的情况是线性拟合，即找到一个直线模型 y=ax+b，使得该直线尽可能靠近所有观测数据点。

最小二乘法的目标是最小化以下目标函数（误差的平方和）：
$$S(a,b)={\sum }_{i=1}^n(y_i-(a{x}_i+b){)}^2$$
其中，yi是观测值，axi+b是预测值。

（2）最小二乘法的优化过程

• 步骤1：
  定义目标函数：目标函数S(a,b) 表示预测值与观测值之间的误差的平方和。
• 步骤2：
  求导数：为了找到使目标函数最小的参数 a 和b，我们对 S(a, b) 分别对a 和 b 求偏导数，并将其设为零，得到一组方程：
  $$\frac{\partial S}{\partial a}=-2{\sum }_{i=1}^n{x}_i(y_i-a{x}_i-b)=0$$
  $$\frac{\partial S}{\partial b}=-2{\sum }_{i=1}^n(y_i-a{x}_i-b)=0$$
• 步骤3：
  解方程：通过求解上述方程组，可以得到最优参数 a 和 b 的值。具体求解过程可以得到如下结果：
  $$a=\frac{n{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i-{\sum }_{i=1}^n{x}_i{\sum }_{i=1}^n{y}_i}{n{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-({\sum }_{i=1}^n{x}_i{)}^2}$$
  $$b=\frac{{\sum }_{i=1}^n{y}_i-a{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n}$$
• 步骤4：
  优化的本质：最小二乘法的过程实际上是通过优化方法来最小化目标函数。优化在这里的意思是找到使目标函数达到最小值的参数组合。在最小二乘法中，这个目标函数是误差的平方和，优化过程就是通过求解导数来找到误差平方和的最小值。

04 贝叶斯信息准则

贝叶斯信息准则（Bayesian Information Criterion, BIC）是一种统计量，用于模型选择，特别是在评估模型复杂性和拟合优度之间的平衡时使用。
BIC 的计算公式如下：
$$BIC=-2ln(L)+kln(n)$$

其中：

• ln(L)是模型的对数似然（log-likelihood）。对数似然度量了模型对数据的拟合优度。对数似然值越大，说明模型越能解释数据。
• k是模型的参数数量。在聚类模型中，参数数量通常包括聚类数K和每个聚类的参数（如均值和方差）。k越大，模型越复杂。
• n是样本数量。样本数量是指数据中的观测值个数。
• BIC 的公式中，-2ln(L)代表了模型的拟合优度，值越小，拟合越好。kln(n)是对模型复杂性的惩罚项，随着参数数量 k 和样本数量n的增加，惩罚项也增加。这个项用来防止过拟合。BIC 的值越小，模型越好。因此，在选择模型时，希望找到使 BIC 最小的模型。